同一对整数，为什么最大公因数向下找、最小公倍数向上找

十八与三十的最大公因数是六，最小公倍数却是九十。两个答案都联系同一对数，却没有在同一份候选清单中取大或取小。OpenStax《Prealgebra 2e》分别以GCF和LCM说明这两种共同关系：一个数要成为两数的因子，或者要成为两数各自的倍数。[1][2] 以下数值均为本文自拟演算。

先看因子。十八的正因子是1、2、3、6、9、18，三十的正因子是1、2、3、5、6、10、15、30。共同成员为1、2、3、6，其中最大的才是六。三也能整除这两个数，却没有达到最大；十八虽然比六大，但不能整除三十，连共同因子这一条件都没有满足。筛选共同成员与在成员中比较大小，是这里连续的两项判断。

倍数的方向相反。十八的正倍数从18、36、54、72、90继续延伸，三十的正倍数从30、60、90、120、150、180继续延伸。九十在两边首次相遇；一百八十也同时是十八的十倍与三十的六倍，但它只是另一个共同倍数，不能替代最小者。教材在介绍LCM时同样区分共同倍数与最小公倍数。[2]

素因子分解能让这两种关系放在一起看。十八等于2×3×3，三十等于2×3×5。共同因子能同时取到一个二与一个三，乘得六；若再取第二个三，三十的分解中已经没有对应的一份。最小公倍数则要容纳十八所需的两个三，也容纳三十所需的五，因而由2×3×3×5得到九十。它没有把两个原数直接相乘，因为共同出现的二和三不必重复加入两遍。

这里保留的素因子数量各有目的。找GCF时，只能保留双方都具备的部分；找LCM时，要使每一个原数所需的部分都能在结果中找到。九十除以十八得五，除以三十得三，正好核实它是两数的倍数。六则反过来作为除数，十八除以六得三，三十除以六得五。除数与被除数交换了位置，候选数所承担的关系也随之改变。

有时答案恰好就是原来的两个数，但那有具体条件。例如自拟六与十八这一对，六本来就整除十八；共同因子最大为六，而十八已经同时是自身和六的倍数，所以最小公倍数为十八。这不能推广成总是从输入中挑小数和大数：前面的十八、三十便不符合这种挑选方式。

另一组自拟的八与十五，共同正因子只剩一。八的素因子为三个二，十五为三与五；要同时成为两数倍数，需容纳这些不同的素因子，得到一百二十。两数都不是素数，共同因子仍可只有一。这个例子也使两种清单的规模更清楚：某个正整数的正因子有限，而它的正倍数序列可以继续延长，故寻找共同倍数时还要保留最小这一条件。

本文只比较正整数与两页教材中的定义和素因子关系，不采用后文多项式提取、负号约定或原练习答案。网页首发日期未知，教材版本也不代表中国课程或考试要求。