均值、中位数与众数：一组数可以给出几种不同的中心

在自拟数列2、2、5、7、9中，五个数相加为25，均值为5；排序后的中间项也是5，众数却是2。OpenStax把mean、median和mode分别说明：它们都可描述数据的中心，但所依靠的信息有求和、位置与频率三种。[1] 以下数列与运算均为本文自行拟定。

均值的分母要保留全部条目。上面的2出现两次，求和可写成2×2+5+7+9，得到25，再除以五。若把重复值收成一行后，误以不同数值只有四种而除以四，就得到6.25，改变了原数列的均值。教材说明的频数写法，是用乘法记住重复次数，并没有把这些次数从分母中删除。[1]

中位数先需要顺序。原来的五项排列好后，第三项为5；这里“三”是位置，5才是该位置上的数值。若另取六项2、2、5、7、9、11，中心落在第三、第四项之间，中位数便是5与7的平均6。六未出现在数列中，仍可成为中位数，因为偶数个数据采用的是两个中间值的平均。来源分别交代奇数与偶数的情形，并明确位置与数值不同。[1]

将首组最后的9换成29，得到2、2、5、7、29，总和变成45，均值升至9；第三项仍是5，中位数没有改变。较大的末项参与了求和，却没有挤走这次排序的中间项。这是对固定五个位置所作的替换，不是增加一个新条目。教材对极端值的讨论指出，中位数不受这些极端值具体数值的影响；这个纸面比较把该条件落实到同一组数据上。[1]

众数读取另一种关系。在自拟的2、2、5、5、9中，2和5都出现两次，且并列最高频率，因此有两个众数；9虽然数值最大，只出现一次。教材将两个众数的情形称为bimodal。[1] 众数也适用于定性类别。若一列颜色是蓝、蓝、绿、绿、红，蓝与绿同样并列最高频率；不需要先替颜色编上数字，再去相加平均。

同一个均值也不能唯一确定另外两种中心。自拟0、0、5、10、10，总和25，均值5，中位数5，众数为0与10；另一组0、0、0、0、25，总和仍是25，个数仍是五，均值也为5，中位数却为0，众数只剩0。前组把数值分布在中间与两端，后组把四项集中在零。总和与个数保住了均值，排序中间项与最高频率却随具体分布改变。这个比较保留相同均值作为条件，展示仅凭该条件无法复原其余两种中心。

分组资料会丢掉个值。假设只知道区间[0,4)有两项、[4,8)有三项，以区间中点2与6代表各组，得到估计均值(2×2+6×3)/5=4.4。OpenStax说明，只有区间和频数时，不能求得原数据的精确均值，使用中点是在估计。[1] 此处方括号表示包含左端点，圆括号表示不包含右端点；区间和频数均为自拟。

两份具体数列能检验信息为何不足：1、3、5、6、7与0、2、4、4、4，都符合上述两组频数；前一组总和22，均值4.4，后一组总和14，均值2.8。分组表没有说每个数在区间内的哪一处，因此同一个中点估计不能区分这两份原始数列。第一次恰好等于4.4，也没有让所有符合该分组表的数据都获得同一精确均值。

本文只解释有限数列与学习资料中的定义，不使用个人测评、健康或收入数据，不提供计算器操作或成绩保证。网页首发日期未确认。